主成分分析 (PCA)
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主成分分析 (PCA)
核心定义
主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种无监督的线性降维与特征提取算法。它通过正交变换将原始高维、可能相关的变量映射为一组线性不相关的新变量（即主成分），并按方差递减排列。第一主成分捕获数据中最大变异方向，后续主成分依次捕获剩余方差，从而在不显著损失信息的前提下压缩数据维度、消除冗余，并揭示隐藏的潜在结构。
关键技术点
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方差最大化与协方差矩阵分解
PCA 的数学本质是求解原始数据协方差矩阵的特征值与特征向量。最大特征值对应的特征向量定义第一主成分方向，该方向使投影后样本方差最大；后续主成分与先前正交且方差次大，依此类推。 -
主成分选取准则
- 累积方差贡献率：通常选择前 k 个主成分使累积方差占比 ≥ 80%–90%。
- 碎石图：特征值下降趋于平缓的“肘点”作为截断阈值。
- Kaiser 准则：保留特征值 > 1 的主成分。
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数据标准化
PCA 对量纲敏感，需先对每个特征进行 Z-score 标准化（均值为 0，标准差为 1）。否则，方差大的变量会主导主成分方向，导致结果失真。 -
载荷与得分的物理意义
- 载荷：原始变量与主成分之间的相关系数，反映变量对主成分的贡献。
- 得分：样本在新主成分坐标上的投影值，可用于后续分类或可视化。
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与奇异值分解（SVD）的关系
实际计算中，常通过对数据矩阵直接进行 SVD 获得主成分，避免构造协方差矩阵，数值稳定性更高，尤其适合高维小样本数据。
医学/神经科学应用场景
以基于头皮脑电图（EEG）的癫痫发作检测为例，首都医科大学神经病学研究团队常面临多通道（如 128 导联）EEG 记录的庞大时空数据。原始信号包含大量噪声、肌电伪迹及背景节律，发作期异常放电（棘波、尖波）埋没其中。PCA 的应用步骤为：
- 对每个时间窗内的多通道数据做标准化，消除电极差异；
- 计算协方差矩阵并提取前 3–5 个主成分（累积方差 > 85%）；
- 分析各主成分的时空载荷分布——第一主成分往往对应发作期广泛同步化的异常节律，其空间分布可辅助定位致痫灶（颞叶或额叶）；
- 剔除代表噪声（眼动、肌电）的次要主成分进行信号重构，提升棘波爆发检测的信噪比。
该方法同样适用于帕金森病静息态 fMRI 的功能连接降维或脑卒中运动诱发电位的模式分离，在保持临床诊断关键特征的同时大幅降低计算复杂度，为实时监测提供可行方案。
