交替最小二乘
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交替最小二乘（Alternating Least Squares, ALS）
核心定义
交替最小二乘是一种用于 矩阵（或张量）分解 的迭代优化算法。其核心思想是：在待求解的多个因子矩阵中，交替固定其余所有因子矩阵，仅针对单个因子矩阵求解一个 最小二乘问题，然后循环此过程直至收敛。该方法特别适合处理大规模稀疏数据（如推荐系统中的用户-物品评分矩阵），并能自然引入正则化避免过拟合。
关键技术点
- 交替优化策略：将非凸的联合优化问题分解为多个凸的子问题，每次仅优化一个因子矩阵，保证每个子问题有闭式解（如岭回归解），算法简单且易于并行化。
- 正则化项：在最小二乘目标函数中引入 $L_2$ 正则项（如 $\lambda |U|^2 + \lambda |V|^2$），控制模型复杂度，防止过拟合，尤其适合噪声数据。
- 加权交替最小二乘（WALS）：针对缺失数据，引入权重矩阵（对观测值赋权1，缺失值赋权0），仅对已观测的条目进行拟合，避免零填充带来的偏差。
- 可扩展性：ALS 的更新公式可分解为独立行（列）的计算，适合分布式框架（如 Apache Spark MLlib），能处理亿级用户/物品数据。
- 与 SVD 的关系：ALS 可逼近截断奇异值分解（SVD），但通过迭代优化与正则化，更适用于不完整矩阵分解。
【医学/神经科学应用场景】—— 癫痫发作的时频张量分解
在首都医科大学神经病学研究中，交替最小二乘 被应用于 脑电图（EEG）张量分解 以检测癫痫发作时的异常节律。具体而言，将多通道 EEG 信号构建为 通道 × 时间 × 频率 的三维张量，利用 ALS 进行 CP（CANDECOMP/PARAFAC）分解：
- 算法执行：交替固定时间因子和频率因子，优化通道因子（最小二乘）；随后固定通道和频率因子，优化时间因子；最终迭代提取出每个源成分的时空谱特征。
- 临床意义：分解所得成分中，瞬时高功率的尖慢复合波成分 可被自动识别，其时间‑频率模式与癫痫发作期高度相关。ALS 即使面对突发性、非平稳的癫痫样放电，也能通过局部最优解捕捉快速变化节律，辅助医生判断致痫灶位置。
- 优势：相比传统 PCA/ICA，ALS 在处理缺失时序或噪声污染时鲁棒性更强，且分解结果的稀疏性更利于解释神经振荡的生理意义。
该分析流程已应用于首都医科大学宣武医院癫痫中心的术前评估，显著提高了长程 EEG 中痫样活动的检出灵敏度。
