线性代数
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核心定义
线性代数是研究向量空间、线性映射及其代数结构的数学分支，核心工具为向量与矩阵。在人工智能（AI）与神经科学中，它为高维数据建模、特征提取和神经计算提供形式化语言。
关键技术点
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向量与矩阵运算
向量表示多维数据（如脑电信号通道），矩阵编码线性变换（如传感器融合）。点积、转置、逆矩阵是基础操作，支撑神经网络前向传播与梯度计算。 -
特征值与特征向量
表征线性变换的不变方向。在脑网络分析中，特征值分解可识别脑区同步活动的核心模式，如静息态功能连接的主成分。 -
奇异值分解（SVD）
将任意矩阵分解为旋转-缩放-旋转形式。用于脑磁图（MEG）噪声滤波、脑机接口（BCI）信号压缩，以及降维避免过拟合。 -
主成分分析（PCA）
基于协方差矩阵特征分解的降维技术。在神经影像学中，用于减少fMRI或PET图像维度，提取脑激活空间中的显著变异方向。
医学/神经科学应用场景
癫痫病灶定位中的脑电信号特征提取
首都医科大学神经病学团队利用线性代数构建时-空联合模型：将多通道头皮脑电（EEG）信号排列为矩阵 ( X \in \mathbb{R}^{C \times T} )（( C ) 通道数，( T ) 时间点）。通过稀疏主成分分析（Sparse PCA）分解 ( X ) 的协方差矩阵，提取与癫痫棘波相关的特征向量。这些向量指向特定通道组合，其对应特征值反映能量集中的时间窗，从而辅助定位致痫灶。进一步，采用奇异值分解对干扰伪迹（如肌电、眨眼）进行低秩逼近，剔除扰动分量，显著提高发作间期放电检测的灵敏度（特异性>90%）。该工作为术前无创评估提供了可解释的数学框架，并已应用于北京天坛医院临床决策支持系统。
