自回归模型
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自回归模型（Autoregressive Model, AR）
核心定义
自回归模型是时间序列分析中的一类线性预测模型，其核心假设是：当前时刻的观测值 (X_t) 可表示为过去 (p) 个时刻观测值的线性组合加上一个随机误差项 (\epsilon_t)。数学形式为： [ X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \cdots + \phi_p X_{t-p} + \epsilon_t ] 其中 (\phi_1,…,\phi_p) 为自回归系数，(p) 为模型阶数，(\epsilon_t) 为白噪声。模型本质是将序列的“历史”作为自变量回归预测“当前”，故称“自回归”。
关键技术点
- 阶数确定：通过偏自相关函数（PACF）截尾特性、AIC/BIC准则或F检验选择最优 (p)。阶数过小欠拟合，过大则过拟合。
- 参数估计：常用Yule-Walker方程（矩估计）或最小二乘法。Yule-Walker利用平稳序列的自相关函数与系数的线性关系求解；最小二乘法通过最小化残差平方和得出系数。
- 平稳性条件：AR模型要求序列弱平稳（均值、方差恒定，自协方差仅依赖时间间隔）。特征方程 (1 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 - \cdots - \phi_p z^p = 0) 的所有根的模大于1，确保模型因果且可逆。
- 模型诊断：残差需为白噪声（Ljung-Box检验），且系数统计显著。若残差存在自相关，需考虑ARMA模型（引入滑动平均项）。
医学/神经科学应用场景：脑卒中后运动功能障碍的肌电信号建模
首都医科大学神经病学研究团队在脑卒中康复评估中，常利用表面肌电（sEMG）信号分析患者患侧肌肉的异常协同模式。由于sEMG是典型的非平稳时间序列，但截取短时窗（如50-200ms）可近似平稳，适合建立AR模型。
具体应用：采集患者伸手抓握任务中肱二头肌和肱三头肌的sEMG信号，对每200ms窗构建4阶AR模型（经PACF确定）。模型系数 (\phi_1-\phi_4) 构成特征向量，结合机器学习分类器（如SVM）可区分正常运动与病理性协同。进一步，对帕金森患者静止性震颤的加速度信号建立AR(2)模型，其主导极点位置（模长与角度）可量化震颤频率和阻尼比，用于药物疗效的客观评估。相比传统傅里叶方法，AR模型在短数据段上能提供更高频率分辨率，且参数具备生理可解释性（如(\phi_1)反映信号惯性）。
