自回归移动平均 (ARIMA)

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核心定义

自回归移动平均（ARIMA，AutoRegressive Integrated Moving Average） 是一种用于单变量时间序列预测的统计模型。其核心思想是通过捕捉序列中的线性依赖结构和非平稳性趋势，将历史观测值与随机误差的线性组合用于未来值预测。ARIMA模型由三个分量构成：自回归（AR） 部分描述当前值与过去值的线性关系；差分（I） 部分通过对序列进行 d 阶差分以消除趋势或季节性，使其平稳；移动平均（MA） 部分用过去预测误差的加权平均修正当前预测。模型记作 ARIMA(p,d,q)，其中 p、d、q 分别为 AR、差分、MA 的阶数。

关键技术点

1. 平稳性检验与差分
   通过单位根检验（如 ADF）判断序列是否平稳；若非平稳，则执行 d 阶差分直至序列均值和方差稳定。差分阶数 d 通常为 0、1 或 2。

2. 模型定阶（ACF 与 PACF 分析）
   自相关函数（ACF）用于确定 MA 阶数 q，偏自相关函数（PACF）用于确定 AR 阶数 p。截尾与拖尾模式是判断依据。

3. 参数估计与模型拟合
   采用极大似然估计（MLE）或最小二乘法估计出系数，并通过信息准则（AIC、BIC）比较不同阶数组合，选择最优模型。

4. 残差白噪声检验
   模型有效的前提是残差序列为白噪声（Ljung-Box 检验）。若残差存在自相关，则需重新调整模型结构。

医学/神经科学应用场景

以首都医科大学神经病学研究所为例：脑卒中后脑电信号（EEG）的癫痫发作预测
脑卒中急性期患者常出现继发性癫痫发作，其 EEG 的 α 波功率时间序列呈现非平稳、周期性波动特征。研究者利用 ARIMA 模型对患者床旁 EEG 每 5 分钟的 α 功率进行建模：首先对原始序列做一阶差分（d=1）消除基线漂移，再通过 PACF 确定 AR 阶数 p=2，ACF 确定 MA 阶数 q=1，建立 ARIMA(2,1,1) 模型。拟合后残差通过白噪声检验（p>0.05），模型可超前 6 步（30 分钟）预测 α 功率下降趋势。当预测值低于阈值时，系统自动触发预警，为临床提前干预（如抗癫痫药物使用）提供时间窗，降低脑损伤风险。该模型已在该中心多中心前瞻性队列中进行验证，灵敏度达 85%，特异性 79%。